Support de l'étude proposée


On s'intéresse à une boîte d'avance de machine outil de forte capacité de marque Forest-Line. La cinématique est globalement simple à comprendre. L'arbre d'entrée 2 est entraîné en rotation par un moteur électrique. Ce mouvement est transmis aux arbres de sortie 4 et 5 par deux engrènements successifs :
  • Le premier est se fait avec un engrenage à denture droite entre les arbres 2 et 3 ;
  • Le second se fait sur les deux arbres de sortie 4 et 5 en parallèle, avec des engrenages à denture hélicoïdale ;
La transformation de mouvement (rotation en translation) se fait par un engrènement pignon crémaillère en fin de chaîne cinématique.
Le schéma cinématique ci-dessous permet de modéliser tout cela. Dans ce schéma, l'arbre d'entrée a été ramené dans le plan des arbres de sortie pour plus de simplicité.



L'originalité de ce support réside dans la solution technique utilisée pour annuler les jeux dans cette chaîne cinématique, notamment au niveau des engrènements. L'idée de base est de doubler la chaîne cinématique en sortie et de précontraindre celle-ci de sorte à avoir un comportement équivalent à un contact bilatéral, même en présence de jeu. Pour cela on précharge axialement l'arbre intermédiaire (présence d'un ressort dans la modélisation cinématique) et le fait que les engrenages soient hélicoïdaux permet de précharger le contact pignon-crémaillère.

On cherche ici à :

  • calculer les actions mécaniques à transmettre dans les différentes liaisons entre les arbres et le bâti, dans le but final de dimensionner les roulements par exemple ;
  • calculer la rigidité de la boîte pour une distribution de jeux entre les pignons et la crémaillère et pour une précharge données.

Choix de la modélisation : aspects standards


Etant donnés les objectifs fixés, correspondant à une phase d'avant projet, il semble raisonnable de choisir un modèle simple. Il est ici hors de question de représenter finement les arbres, les roues dentées, etc. On utilisera donc pour les arbres des modèles poutre.
Pour cela on définit la géométrie suivante comprenant une représentation filaire des arbres, des pignons et roues dentées, ainsi que les droites d'engrènement (orientées par les angles de pression et éventuellement les angles d'hélice).

Aux géométries filaires on associe un modèle poutre :
  • arbre intermédiaire : section circulaire de rayon uniforme 24 mm
  • arbres de sortie : section circulaire de rayon uniforme 35 mm
Les modèles poutres associés aux pignons et roues dentées n'ont aucun sens. Peu importe puisqu'on les rigidifie à l'aide d'une pièce virtuelle rigide.
Des liaisons sont imposées entre les arbres et le bâti, en accord avec les solutions constructives adoptées :
  • arbre intermédiaire : deux liaisons sphère-cylindre (roulement à aiguilles et roulement à rouleaux cylindriques) ; la rotation propre de l'arbre est bloquée au niveau de la section contenant la roue dentée entraînée par l'arbre moteur ; un appui élastique, possiblement préchargé est créé à l'extrémité de l'arbre ;
  • arbres de sortie : une liaison pivot (deux roulements à rouleaux coniques accolés et montés en O), une liaison sphère-cylindre (un roulement à aiguilles).

Choix de la modélisation : définition des engrènements entre les pièces



On crée les liaisons engrènements entre les pignons et les roues dentées. Pour cela, on définit une "connexion personnalisée" présentant 6 souplesses. Dans un repère utilisateur dont le premier axe est colinéaire à la ligne d'engrènement, on impose :
  • une rigidité importante selon cette première direction ;
  • une rigidité nulle dans les 5 autres directions ;
Cela correspond à une liaison ponctuelle entre les deux pignons de normale la ligne d'engrènement. L'intérêt d'utiliser une liaison présentant une souplesse est de pouvoir par la suite prendre en compte la rigidité non infinie de l'engrènement (flexion des dents, théorie de Hertz).

On procède de même pour les engrènements pignons-crémaillère. On introduit des jeux potentiels entre la crémaillère et les pignons. Ces jeux seront des paramètres d'entrée de la simulation.

Comme la crémaillère n'est pas représentée (on la considère infiniment rigide), on la modélise par quatre points C41, C42, C51, et C52 (voir schémas ci-dessus et ci-dessous) dont on imposera le déplacement relativement au bâti. On crée entre ces points et les extrémités des pignons des arbres de sortie des liaisons identiques à celles créées précédemment (4 connexions au total). Procéder de cette manière permettra dans la suite d'imposer, ou relacher la condition de contact en ces points (rigidité grande ou faible de la liaison).

Le traitement du contact unilatéral avec jeu peut se faire par une méthode classique des statuts :
  • manuellement, en imposant puis relâchant des conditions (raideurs de contact grandes ou faibles) en fonction du signe des efforts d'engrènement observés à l'issu d'une itération ;
  • automatiquement à l'aide d'une macro (ce qui a été fait ici) ; cette macro permet par ailleurs de boucler sur le chargement et de construire un fichier donnant les points calculés (Déplacement imposé - Effort axial sur la crémaillère).
Si l'on souhaite déplacer la crémaillère d'une quantité dx, on imposera aux extrémités des ressorts reliés :
  • en C41, un déplacement égal à dx-j41
  • en C42, un déplacement égal à dx+j42
  • en C51, un déplacement égal à dx-j51
  • en C52, un déplacement égal à dx+j52


Analyse statique : pas de jeu, pas de précharge


On impose que tous les jeux sont nuls, ainsi que la précharge. Le logiciel (et la macro) fournit alors la courbe de comportement donnée ci-dessous.
Le comportement est parfaitement linéaire ce qui est normal : les contacts en C41 et C51 sont permanents. Les efforts de contact en ces deux points sont différents du fait de la rigidité différente en torsion des deux chaînes cinématiques en parallèle. Dans ce graphe, comme dans tous les autres, on note en rouge la limite de capacité de la machine : 50000N. On souhaiterait obtenir un comportement sans jeu jusqu'à ce seuil.


Analyse statique : avec jeu, sans précharge



On fait le même type de calcul, mais après avoir imposé différents jeux aux contacts.

La courbe magenta correspond à un jeu nul en C42, et des jeux non nuls ailleurs. On distingue deux phases dans le comportement :
  • dans un premier temps, on a une pente plus faible que précédemment provenant du fait que seul un arbre de sortie travaille ;
  • dans un deuxième temps, il y a contact en C51 et en C41 : la pente est identique à celle de la courbe de référence bleue (pas de jeu, pas de précharge).
Les courbes turquoise et orange correspondent à des jeux non nuls partout. Il existe cette fois trois phases :
  • dans un premier temps, l'effort à imposer pour déplacer la crémaillère est nul : il faut combler les jeux pour amener la crémaillère avec l'un ou l'autre des pignons ;
  • dans un deuxième temps, il y a contact en C41, et pas en C51 puisque les jeux en ces points sont différents ; il n'y a donc qu'un arbre de sortie qui travaille, et on retrouve la pente initiale de la courbe rouge ;
  • dans un troisième temps, il y a contact en C51 et en C41 : la pente est identique à celle de la courbe de référence bleue (pas de jeu, pas de précharge).


Analyse statique : avec jeu, avec précharge


Comme on l'a expliqué précédemment, la précharge doit permettre de conserver une rigidité important, en maintenant les deux arbres en contact avec la crémaillère tant que l'effort sur celle-ci reste raisonnable.
C'est exactement ce qu'on observe sur les courbes tracées ci-dessous.

Les courbes verte et violette sont calculées pour une même précharge F0=5400 N. Elles diffère de par les jeux au contact plus ou moins grands. On peut cette fois distinguer 3 phases dans le comportement :
  • dans un premier temps, le comportement est linéaire : grâce à la précharge il y a contact en C52 et en C41 malgré les jeux ; au fur et à mesure que le chargement croît, l'effort au contact C41 croît, celui en C52 décroît ;
  • dans un deuxième temps, le contact en C52 est libéré et seul un arbre travaille : la pente est donc identique à la pente initiale de la courbe rouge ;
  • dans un troisième temps, le contact en C51 a lieu et les deux arbres travaillent de nouveau : la pente est celle de la courbe bleue de référence.
Cela montre qu'il faudrait augmenter encore légèrement la précharge pour garantir un fonctionnement sans jeu jusqu'à un effort axial de l'ordre de 50000 N.