Support de l'étude proposée
Une schématisation cinématique est proposée afin de bien mettre en évidence les mouvements relatifs possibles entre les axes.
Modélisation réalisée
Chaque liaison glissière est réalisée par 6 ou 4 patins à rouleaux préchargés disposés sur deux rails parallèles. On considère que chacun de ces patins réalise localement une liaison sphère-cylindre élastique entre les axes. Chaque liaison glissière est donc composés finalement de 6 ou 4 liaison sphère-cylindre élastiques placées en parallèle. Du point de vue éléments finis, ces liaisons élastiques entre les degrés de libertés sont imposées avec une vision maître esclave. Dans la zone du patin situé sur l'axe S1, les degrés de liberté des noeuds sont associés à un noeud maître M1 de sorte qu'ils aient le même torseur de petits déplacements. Le noeud maître possède donc six degrés de liberté (3 translations et 3 rotations) qui sont reliés aux 3 translations de chaque noeuds de l'axe dans la zone connectée.
Chaque vis à billes est modélisée comme une poutre et maillées à l'aide d'éléments linéaires. Les liaisons entre chaque vis à billes et les deux axes qu'elle relie sont considérées comme rigides. La liaison hélicoïdale entre l'écrou et la vis est modélisée comme une rotule (faible longueur de guidage), de sorte qu'il n'y a pas de couplage entre la rotation de la vis et la translation de l'écrou. Du point de vue éléments finis, les liaisons cinématiques entre les degrés de libertés sont imposées avec une vision maître-esclave. Les surfaces d'appui dans les pièces volumiques sont rigidifiées, et le vecteur déplacement d'un noeud de cette surface est identique au déplacement du centre de la liaison sur la vis.
Les moteurs actionnant les vis à billes sont modélisés par une rigidification de leur support et une masse excentrée de 20 kg en leur centre de gravité.
La broche logée dans l'axe Z est modélisée par une rigidification de son support et une masse additionnelle de 111 kg.
Les inerties de ces différents éléments ne sont pas prises en compte.
Enfin la table sur laquelle la pièce à usiner n'est pas représentée. Elle est considérée comme très rigide et ainsi modélisée par un élément rigide reliant ses deux supports. Sa masse est placée au centre de gravité.
La liaison de la machine avec le sol est réalisée à l'aide de patins isolants. Ces patins sont modélisés par une rigidification de la zone du bâti en contact avec eux et un appui élastique possédant trois raideurs en translation et aucune raideur en rotation.
En pratique, dans le but d'avoir un modèle éléments finis apte à représenter sans modification les différentes configurations de la machine, le fichier d'analyse éléments finis global fait appel à différents fichiers éléments finis associés à chacun des axes. Cela permet de construire dans chacun de ces modèles :
- un maillage tétraédrique de l'axe ;
- un maillage de la vis supportée par l'axe (sauf pour l'axe Z) ;
- les propriétés de ces solides
- les connexions entre la vis à bille et l'axe (deux rotules)
- les groupes de noeuds (groupe de surface par proximité) associés à la zone d'appuis des patins de la ou des liaisons glissières mettant en jeu l'axe considéré ;
- la modélisation du moteur associé à l'axe
- l'ensemble des liaisons entre les axes correspondant aux patins des liaisons glissières ;
- l'ensemble des cas d'analyse à étudier (analyse modale, analyse dynamique harmonique, analyse dynamique transitoire).
Le modèle global comprend 251320 degrés de liberté.
Analyse modale
On cherche les modes dans la bande de fréquence [0-500] Hz pour une configuration donnée. Le calcul de ces modes prend moins de 10 minutes sur une machine tout à fait standard. Afin de "valider" les modes obtenus, un modèle similaire a été construit dans CAST3M. Pour cela, les maillages tétraédriques des axes construits dans CATIA ont été exportés et interfacé avec CAST3M (voir le petit outil développé par L. Champaney ici). Tout le reste a été reconstruit (vis à billes, liaisons entre les axes, liaisons entre les axes et les vis à billes, prise en compte des moteurs, de la broche, etc...), en essayant de créer exactement le même type de liaisons, mais ce n'est pas simple. Dans CAST3M, et sur une machine performante, le calcul des 21 premiers modes prend plus de 3 heures (CAST3M est réputé lent pour ce genre de calculs). Le tableau ci-dessous compare les résultats obtenus. Compte tenu de la complexité de la construction du modèle dans CAST3M, ils sont tout à fait satisfaisants, notamment en ce qui concerne les modes globaux.
Ce premier travail montre que les résultats obtenus par CATIA sont tout à fait corrects, et ce en un temps record !
| N° CATIA | N° CAST3M | Fréquence CATIA (Hz) | Fréquence CAST3M (Hz) |
| 1 | 1 | 6.7 | 6.7 |
| 2 | 2 | 7.3 | 7.3 |
| 3 | 3 | 10.0 | 10.0 |
| 4 | 4 | 35.6 | 36.6 |
| 5 | 5 | 39.9 | 40.1 |
| 6 | 6 | 43.1 | 41.5 |
| 8 | 7 | 60.5 | 56.9 |
| 7 | 8 | 56.7 | 57.9 |
| 9 | 9 | 77.4 | 78.6 |
| 10 | 10 | 81.5 | 80.1 |
| 11 | 11 | 103.3 | 107.6 |
| 12 | 12 | 111.2 | 111.0 |
| 13 | 13 | 121.7 | 112.7 |
| 14 | 14 | 138.6 | 143.7 |
| 15 | 15 | 152.7 | 152.2 |
| 16 | 16 | 155.9 | 156.4 |
| 17 | 17 | 170.1 | 161.9 |
| 18 | 18 | 193.4 | 187.6 |
| 19 | 19 | 219.9 | 214.8 |
| 20 | 20 | 227.7 | 226.7 |
| 21 | 21 | 237.7 | 234.5 |