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Support de l'étude proposée


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On se propose ici de caractériser le comportement dynamique modal d’une éprouvette composite sandwich. Ces travaux sont les résultats d’un projet réalisé en M1 au département à l’ENS de Cachan (encadrement : E. Baranger, O. Dorival, F. Louf) et ont été présentés au concours « B&K University Challenge » en juin 2011.

Géométrie et réalisation de l’éprouvette


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L’éprouvette est constituée d’une âme en forme de treillis à maille élémentaire tétraédrique. La section de chaque élément de ce treillis est circulaire (2.5mm de diamètre ici). Les peaux sont constitués d’un composite stratifié (carbone/epoxy). La réalisation de l’âme treillis a été possible grâce à la construction des son modèle CAO et de son impression sur une imprimante 3D ABS. Les peaux ont été réalisées au laboratoire d’enseignement de composites du département.
On obtient finalement la structure fabriquée : elle pèse seulement 95g, pour un encombrement global de 295mmx62mm*18mm.


Modélisation numérique


Le modèle numérique réalisé devait être à la fois léger en terme de coût de calcul, et performant en terme de qualité. Des choix devaient donc être faits quant aux types d’éléments à retenir :
  • éléments  « poutres » pour modéliser le treillis
  • éléments « coques » pour modéliser les peaux
Le modèle est entièrement paramétré de façon à pouvoir représenter une famille d’éprouvettes de ce type. Les paramètres sont :
  • longueur d’un côté du tétraèdre régulier
  • diamètre des poutres du treillis
  • épaisseur des peaux
  • nombre de motifs à répéter dans les deux directions (1 seul motif dans l’épaisseur)
  • coefficients matériaux : étant donnés les plis constituant les plaques, on fait l’hypothèse, a priori justifiée, qu’elles ont un comportement isotrope ; de même, on fait l’hypothèse d’un matériau isotrope pour le treillis, mais étant donné le procédé de fabrication, c’est nettement plus douteux.
On obtient par une analyse éléments finis classiques (analyse modale libre-libre) les premiers modes de vibration de la structure et les fréquences associées.
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Mode_4Mode_5Mode_6


Réalisation des essais


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Des essais classiques ont été réalisés avec les moyens expérimentaux dont dispose le département de Génie Mécanique. La structure, maintenue par des élastiques de faible raideur (étude libre-libre), est excitée au marteau de choc en plusieurs points successivement et sa réponse dynamique est obtenue via un accéléromètre uniaxe, dont la direction de mesure est la normale à la surface moyenne de l’éprouvette.
Mis à part les mode de corps rigides, les modes obtenues sont successivement des modes de flexion et torsion.

Mode_1_ExpMode_2_ExpMode_3_Exp
Mode_4_ExpMode_6_ExpMode_7_Exp

Confrontation des résultats expérimentaux et numériques


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Les résultats peuvent dans un premier temps être confrontés en comparant les fréquences propres obtenues. Un écart au sens des moindre carrés peut être formulé, et on peut ainsi tracer l’erreur obtenue en faisant varier les modules des peaux et de l’âme respectivement. Pour mener à bien tous les calculs nécessaire, une macro VB a été implantée. Elle permet simplement d’automatiser le calcul de la surface de réponse et de générer un fichier texte comprenant les différents résultats.
L’inconvénient majeur d’une telle méthode, c’est que les formes des modes ne sont pas comparées : on a donc le risque d’avoir des fréquences très proches deux à deux, mais pour des modes numériques et expérimentaux très différents (flexion et torsion par exemple). Pour contourner ce problème, il peut être intéressant d’utiliser le critère de MAC (Modal Assurance Criterion).
Le critère de MAC permet de comparer aisément les formes modales de source différentes :
  • modes expérimentaux et modes issus d’un modèle éléments finis : permet de valider un modèle/essai
  • modes issus de modèles éléments finis différents (modèle complet, modèle simplifié par exemple) : permet de valider un modèle simplifié par exemple
  • modes numériques réduits à différents jeux de points de mesure : permet de valider un jeu de point de mesure réduit
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Pour le jeu de paramètres optimaux trouvé à l’aide de l’erreur en fréquence, on peut donc chercher à calculer le MAC (modes numériques/modes expérimentaux). Pour cela on suit la démarche suivante :

  • on définit un certain nombre de points dans la géométrie sous-jacente au modèle éléments finis : ces points représentent la position des points de mesures sur la structure réelle ;
  • on impose au maillage des peaux de passer par ces points afin d’avoir un noeud associé à chaque point de mesure
  • une fois le calcul réalisé, on trace la composante adaptée (celle qui est mesurée dans les essai), et on la réduit sur les points mesurés via un «  groupe de point par proximité »
  • on exporte ensuite cette image mode par mode dans un fichier texte
  • la procédure précédente peut être automatisée via une macro et peut ainsi fournir en sortie un seul fichier texte contenant tous les modes numériques réduits aux points de mesures
Il reste à définir une correspondance entre la numérotation des points exportés de CATIA et les points mesurés, puis à créer un petit programme MATLAB (par exemple), permettant de calculer le MAC. Dans notre cas, on obtient le MAC ci-dessus (abscisse : modes mesures, ordonnée : modes numériques). Quelques commentaires :
  • les modes rigides n’ayant pas été extraits des mesures, les 6 modes rigides numériques n’ont aucun équivalent ;
  • les 7 premiers modes non rigides sont semblables (la valeur sur la diagonale est assez importante) et ils sont bien distincts les uns des autres (pas de terme hors diagonale important) ;
  • il existe ensuite un décalage : deux modes numériques n’ont pas d’équivalent expérimental ; il peut s’agir soit d’un mode normal à la direction de mesure, et/ou d’un mode expérimental non extrait ;


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