Calcul d’un système préchargé



Objectifs : dans le domaine de la construction mécanique ou du génie civil, un grand nombre de système est préchargé. Par exemple :
  • tous les systèmes assemblés par boulonnage le sont : cela permet notamment de faire en sorte d’assurer une pression de contact suffisante entre les pièces pour que sous charge l’étanchéité soit maintenue ;
  • la plupart des montages de roulements à contact oblique le sont également : cela permet de garantir que sous charge, les deux roulements continuent de travailler sans jeu ;
  • dans le domaine du génie civil, où le béton résiste très mal aux sollicitations de traction, il est d’usage de précharger les structures pour que sous charge, elles demeurent sollicitées en compression.
Dans cette fiche, on propose d’étudier le cas d’une poutre en béton, préchargée par deux câbles à la manière de ce qui est expliquée sur le site de la société Freyssinet. Les dimensions de la structure traitée ici ne sont pas représentatives d’un ouvrage de génie civil...


Support de l’étude, principe


On étudie donc une poutre de béton, dans laquelle des ouvertures longitudinales sont créées de manière à pouvoir laisser passer deux câbles à l’intérieur. Une extrémité de chaque câble est solidement ancrée à une face latérale de chaque poutre, tandis que l’autre est libre pour le moment. Si la poutre est ainsi sollicitée par son propre poids, ou des actions mécaniques extérieures, elle fléchira et on verra apparaître une zone sollicitée en compression, une zone sollicitée en traction, ce qui est dommageable à sa tenue.
Poutre_PostTension_Coulage
En imposant un déplacement relatif entre les extrémités libres des câbles et la seconde face latérale de la poutre, celle-ci va être précontrainte, et va même fléchir si les deux câbles sont excentrés relativement à la ligne moyenne de la poutre. Lorsqu’un chargement sera imposé par la suite, la poutre sera essentiellement sollicitée en compression. La poutre est fabriquée, et non précontrainte. Les zones de passage des câbles sont représentées, mais les câbles ne sont pas présents.
Poutre_PostTension_Tension
Les câbles sont passés dans les évidements, mais ne sont solidaires de la poutre que du côté gauche. L’extrémité droite est libre. Dans un second temps, le câble est étiré et solidarisé de la poutre qui devient préchargée. Du fait de l’excentration des câbles relativement à la ligne moyenne de la poutre, celle-ci fléchit vers le haut. La zone supérieure est sollicitée en traction, la zone inférieure en compression.
Poutre_PostTension_Charge
La poutre est ensuite chargée et reste globalement sollicitée en compression du fait de la précharge installée.









Géométrie


PlanPoutre
Une poutre de longueur 200 mm, de largeur et hauteur égales à 30 mm, est tout d’abord créée dans l’atelier Part Design. Dans un Corps Surfacique nommé « Câbles » sont créées deux droites reliant respectivement les points (-100,-10,10) et (100,-10,10), (-100,10,-10) et (100,10,-10).
Afin de générer plus tard un raccord non ponctuel entre les extrémités des câbles et les faces latérales, on crée également 4 surfaces carrées de côté 5 mm comme indiqué dans la figure ci-contre. Enfin deux points de coordonnées (-100,0,0) et (100,0,0), centres géométriques des faces de la poutre, sont créés. Ils seront utiles dans la suite pour la création des conditions aux limites.

Maillage des différents éléments

La poutre sera maillée régulièrement en utilisant les différents outils du « mailleur avancé ». La peau est tout d’abord maillée au moyen d’éléments quadrangulaires ayant une taille de 1.5mm. Dans la fenêtre de définition du maillage, on impose également que des noeuds soient positionnés sur les contours des surfaces d’accrochage des câbles. Afin d’obtenir un maillage tétraédrique, on remplit simplement le maillage précédent en utilisant l’outil « Remplissage tétraédrique ». On obtient ainsi le maillage présenté ci-contre (Tutorial maillage poutre).
Maillage_Tetraedres
Le maillage des deux câbles se fait en utilisant le « mailleur poutre ». On maille avec un seul élément en spécifiant une longueur de 200 mm. En effet, le câble n’ayant qu’une raideur en traction, un seul élément barre suffit pour le représenter. Une fois les maillages poutres créés, il est possible de changer le type d’élément en cliquant-droit sur le maillage poutre, en sélectionnant « Changer le type » dans le maillage contextuel, puis en choisissant « Barre » (Tutorial maillage câbles).


Modélisation de l’environnement


La poutre est supposée en liaison sphère-cylindre à une extrémité, et rotule à doigt (pour bloquer sa rotation propre) à l’autre extrémité. Pour réaliser ces liaisons, on utilise deux « pièces virtuelles souples » ayant comme support une face latérale et comme poignée le centre géométrique précédemment créé de celle-ci. Les déplacements et rotations de ces deux points sont ensuite imposés via l’outil « fixations définies par l’utilisateur » (Tutorial liaisons).

Connexions entre câbles et poutre


Pour établir les connexions entre les câbles et les zones d’accroches définies sur les faces latérales de la poutre, on suit la démarche suivante (Tutorial connexions) :
  • création d’un groupe de surface par proximité pour chaque zone d’accroche
  • création d’une « connexion générale d’analyse » entre chaque extrémité de câble et le groupe associé à la zone d’accroche en vis-à-vis
  • création d’une « propriété de connexion personnalisée » de type souple-rigide associé à chacune des ces « connexions générales d’analyse »

Propriétés

On crée une propriété poutre, de type barre, en précisant la section et le matériau (acier) pour chaque câble, et une propriété solide pour la poutre, en précisant le matériau également (béton). (Tutorial propriétés).

Mise en place de la précharge et du chargement


Pour imposer la précharge, on choisit ici de jouer sur la dilatation des câbles. Pour cela, on impose un champ de température sur chaque câble. Si ce champ de température uniforme est inférieur à la température de référence ( 293.16 K), le câble se contracte et impose ainsi une précharge à la poutre. La tension trouvée après calcul dans le câble, sans chargement extérieur supplémentaire, donnera sa précontrainte. Une pression peut être imposée sur la poutre de façon à la faire fléchir. On choisit d’imposer une pression sur la face supérieure de 2 MPa (Tutorial précharge et chargement).

Premier calcul : pas de renforcement par câble


Un premier calcul est effectué sans présence des câbles. Pour cela, il suffit de relâcher une condition de liaison selon l’axe de la poutre entre une des extrémités de chaque câble et la zone d’accroche correspondante. Cela peut se faire un imposant au niveau de la raideur de liaison selon l’axe x, une raideur nulle.
Sigma_nn_SansCable

La flèche maximale est de 0.743 mm. On trouve la champ de contrainte présenté ci contre. La contrainte normale est positive dans la zone tendue, négative dans la partie comprimée, et vaut, en valeur absolue 62.5 MPa.

Second calcul : précharge nulle


Un second calcul est effectué avec les câbles non préchargés. Pour cela on rétablit la liaison relâchée précédemment, et on impose une température de 293.16 K.
Sigma_nn_AvecCable
On trouve la champ de contraintes présenté ci contre. Les câbles apportent une rigidité supplémentaire du fait de leur excentration. La flèche globale est plus faible (0.515 mm), et la contrainte normale de traction est également plus faible dans la partie inférieure (+36.8MPa). La contrainte de compression est de 54.6 MPa. Les câbles supportent quant à eux une charge axiale de 4035 N.

Troisième calcul : précharge non nulle


Sigma_nn_AvecCable_Precharge
Un troisième calcul est effectué avec une précharge correspondant à une température de 293.16-170 = 123.16 K. En l’absence de chargement de pression, la poutre fléchit « vers le haut » à cause de l’excentration des câbles. La zone tendue est sollicitée à 13 MPa, la zone comprimée à 45 MPa. Les efforts dans les câbles sont de 7180 N. Cet effort correspond à la prétension à imposer par le procédé de mise en charge. En présence d’une chargement de pression identique au précédent, on trouve la répartition de contrainte normale présentée ci-contre. Il apparaît clairement que la poutre est sollicitée relativement uniformément, et très majoritairement en compression. Sous chargement extérieur, les câbles sont soumis à une charge axiale de 11221 N.

Remarque


Le même type de calcul aurait pu être mené en utilisant une connexion personnalisée de type « serrage ».