Utilisation d’un modèle éléments finis pour trouver une loi entrée-sortie statique

Objectifs

Dans le cas d’un mécanisme comme celui présenté ci-contre (un préhenseur pneumatique que l’on peut monter à l’extrémité d’un bras de robot : http://sti.ac-dijon.fr/), on peut souhaiter connaître le lien entre la pression d’alimentation et l’effort de préhension appliqué sur une pièce placée entre les deux mords. Le calcul analytique est faisable, mais la loi entrée sortie dépendant bien évidemment de la configuration géométrique, c’est-à-dire de l’écartement angulaire des mords, il est un peu laborieux.
Pour s’affranchir de ce calcul, on peut tenter d’utiliser l’atelier de calcul par éléments finis de CATIA. En plus d’obtenir le lien entre effort presseur en entrée et effort de serrage en sortie, on aura une première estimation des sollicitations dans les pièces, et de la rigidité de l’ensemble (si cela est nécessaire...).

Construction du modèle géométrique utilisé

Le modèle utilisé est très simple. Les différents solides sont représentés par des segments.

Le bâti n’est pas représenté, car il sera supposé infiniment rigide en éléments finis. La géométrie est paramétrée de manière à pouvoir faire varier l’écartement entre les mords et que tout le reste de la géométrie « suive » cette modification. En tout, on a 5 éléments géométriques :

1 piston
2 biellettes
2 mords

Construction du modèle éléments finis

Le modèle éléments finis utilise un maillage à l’aide d’éléments de type « poutre ». Pour ces poutres, les sections imposées sont rectangulaires pour les mords et les biellettes, et cylindrique pour le piston. Ces points n’ont d’importance que si :

le système est hyperstatique : dans ce cas, les efforts dépendent des rigidités des pièces ;
et/ou l’utilisateur souhaite connaître la rigidité du mécanisme (ici, on ne voit pas trop l’intérêt...)

La création des poutres est présentée dans cette animation : Tutorial
Le maillage et les propriétés étant définis, il reste à lier les maillage entre eux, en respectant les torseurs cinématiques des liaisons réelles qui existent entre les pièces. On définit tout d’abord des « connexions générales d’analyse » avec comme support géométriques les points extrémité de deux pièces devant être reliées. La démarche de construction des connexions est illustrée cette l’animation : Tutorial

On indique ensuite le type de liaison réalisée. Ici, on choisit d’utiliser une « propriété de connexion rigide » dont le support est une des connexions générales d’analyse précédemment créées, et on spécifie à chaque fois que la liaison est de type « rotule ». En effet, la longueur de guidage des biellettes dans les mords ou dans le piston est faible relativement au diamètre des axes. On laisse donc possible les rotations relatives. Toutefois, il demeure trois mouvements de solide rigide : les deux rotations propres des biellettes et la rotation propre du piston. Pour éliminer les rotations propres des biellettes, on crée un repère local dans la pièce « biellette », dont l’axe

est dans l’axe de la biellette. Lorsque l’on définit la connexion entre une biellette et le piston, on choisit d’exprimer les degrés de libertés transmis dans le repère utilisateur défini précédemment et non pas dans le repère global. En plus des trois translations, on transmet donc la rotation selon l’axe

de ce repère. Ainsi, le mouvement de rotation propre de la biellette est impossible et le calcul pourra se dérouler normalement. La création des propriétés de connexion est présentée ici : Tutorial

A l’issue de cette étape, le noeuds « propriétés » de l’arbre a la forme ci-contre (5 propriétés de poutres, et 4 propriétés de connexion).

Il reste à définir les conditions aux limites en déplacement. Les conditions aux limites en déplacement sont :

le piston en en liaison pivot glissant avec le bâti : on remplace cette liaison pivot glissant par une glissière sans quoi un mouvement de corps rigide apparaît : la rotation propre du piston n’est pas bloqué par les biellettes à cause des rotules (mouvement hélicoïdal possible) ; on bloque donc, sur tout le piston, tous les déplacements et rotations excepté le déplacement selon ;
les mords sont en liaison pivot par rapport au bâti. Il suffit donc de bloquer tous les degrés de liberté exceptée la rotation selon .

La définition de toutes ces conditions aux limites est illustrée dans une animation : Tutorial
Il nous faut maintenant définir le chargement en effort. Ce dernier est constitué d’un effort ponctuel sur l’extrémité du piston d’intensité

où

représente la section du piston, et

la
pression d’utilisation de la pince. On définit 3 paramètres : la pression dans la chambre en bars, la section du piston, et l’amplification en N/bar qui sera calculée ensuite à partir d’un capteur de réaction : Tutorial
Le chargement statique défini dans le paragraphe précédent est relié par une formule à la pression et à la section du piston : Tutorial

Calcul et post-traitement du modèle éléments finis

Le modèle est désormais complètement défini, et on peut calculer la solution du problème éléments finis. Ce qui nous intéresse est plutôt l’intensité de l’effort de serrage pour une pression donnée en entrée, et pour une ouverture donnée. L’effort de serrage est récupéré par un « capteur de réaction » : Tutorial
Enfin, l’amplification est calculée par une formule ; dans le cas où les mords sont parallèles, elle vaut 35.7 N/bar.
En traçant la norme du champ de déplacement, on trouve la carte ci-dessous.

Deformee

Loi entrée-sortie en effort fonction de l’ouverture des mords

La configuration géométrique du produit évolue avec l’écartement des mords. Un paramètre dans le produit permet de régler cette ouverture, et pour chacun de ces réglages, un calcul éléments finis peut être mené. On obtient alors l’amplification en N/bar pour toutes ces configurations géométriques. Afin de rendre la tâche automatique, on peut créer une macro qui réalise ces itérations. Sa construction est détaillée ci-dessous.

La première étape consiste à enregistrer une macro pour quelques opérations particulières afin de découvrir le langage utilisé. Ensuite, il faut réorganiser le contenu, et dans notre cas, ajouter une boucle interne permettant d’itérer sur la configuration géométrique, et d’écrire chaque résultat dans un fichier texte.

Les éléments colorés en rouge doivent être personnalisés (nom du produit, chemin du fichier de sortie).
Les éléments colorés en vert sont des commentaires.

' ================================================================
' Calcul de la loi entrée sortie en effort d une pince pneumatique
' F. Louf
' Le 28/10/2011
' ================================================================

Language="VBSCRIPT"

Sub CATMain()

' La syntaxe ci-dessous est generee par un enregistrement de macro
' ----------------------------------------------------------------

' Document produit a mettre a jour et contraintes d assemblage
Set documents1 = CATIA.Documents
Set productDocument1 = documents1.Item("Pince_Filaire.CATProduct")
Set product1 = productDocument1.Product
Set product1 = product1.ReferenceProduct
Set constraints1 = product1.Connections("CATIAConstraints")

' Document analyse element finis et parametres
Set analysisDocument1 = CATIA.ActiveDocument
Set analysisManager1 = analysisDocument1.Analysis
Set analysisModels1 = analysisManager1.AnalysisModels
Set analysisModel1 = analysisModels1.Item(1)
Set analysisCases1 = analysisModel1.AnalysisCases
Set analysisCase1 = analysisCases1.Item(1)
Set parameters1 = analysisManager1.Parameters
Set amplification = parameters1.Item("Coefficient_Amplification")

' Recupération de la variable "ecartement"
' dans les contraintes de l assemblage
' --------------------------------------
Set contrainte = constraints1.Item("Distance.21")
Set ecartement = contrainte.Dimension

' Définition du fichier d export des resultats
' --------------------------------------------
MonCheminF = "C:\Documents and Settings\XXX\YYY\ZZZ\"
NomFichierF = MonCheminF & "Pince_Ecart_Ratio.txt"

' Création du fichier contenant les résultats futurs
' --------------------------------------------------
Set objectFSO = CreateObject("Scripting.FileSystemObject")
Set ObjetFichierF = objectFSO.CreateTextFile(NomFichierF, TRUE)

' Ecriture de la ligne d entête
' -----------------------------
ObjetFichierF.WriteLine("e(mm) r(N/bar)")

' Paramètres du bouclage sur l ecartement
' ---------------------------------------
' Dans l ordre :
' nombre de pas
' valeurs min de l ecartement
' valeurs min de l ecartement
' taille du pas

ne = 50
emin = 20.5
emax = 58.06
pase = (emax-emin)/(ne-1)
ie = 0

' Debut du bouclage sur l ecartement des mords
' --------------------------------------------
While (ie < ne)

ie = ie + 1
ecartement.Value = emin + (ie-1)*pase

product1.Update ' Mise à jours du produit
analysisCase1.Compute ' Calcul elements finis dans la nouvelle configuration

' Eriture dans le fichier
' -----------------------
ObjetFichierF.WriteLine(ecartement.value & " " & amplification.Value)

' Fin bouclage sur l ecartement
' -----------------------------
Wend

' Fermeture du fichier contenant les résultats
' ---------------------------------------------
ObjetFichierF.Close

End Sub

Une fois que le fichier texte est récupéré dans un tableur, on peut tracer l’évolution de l’amplification en fonction de l’écartement des mords. On obtient la courbe non linéaire ci-dessous.
Loi_Amplification_Ecartement